Question

5．已知向量$\overrightarrow a=（\frac{1}{2}，\;\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）$和向量$\overrightarrow b=（1，f（x））$，且$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有$f（2A-\frac{π}{6}）$=1，$BC=\sqrt{7}$，$sinB=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，求AC的长度．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线定理、和差公式可得$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$，再利用三角函数的周期性与单调性即可得出．
（2）由$f（2A-\frac{π}{6}）$=1，得$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，及其0＜A＜π即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，
∴$\frac{1}{2}f（x）=\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx$，
∴$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$，
则函数f（x）的最小正周期为2π，最大值为2．
（2）由$f（2A-\frac{π}{6}）$=1，得$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$，
∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，即$A=\frac{π}{3}$．
由正弦定理得 $\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，
得$AC=\frac{BC•sinB}{sinA}=2$．

点评 本题考查了向量共线定理、和差公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．