题目内容
已知椭圆C的中心坐标原点，F1、F2分别为它的左、右焦点，直线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使2| MF1 |
| MF2 |
| MF1 |
| MF2 |
| MF1 |
| MF2 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）若PQ为过椭圆焦点F2的弦，且
| PF2 |
| F2Q |
分析：（1）设椭圆C的方程为
+
=1，a＞b＞0，由直线x=4为椭圆C的准线，知
=4，由|
|=|
|，知M为椭圆C短轴上的顶点，由|
| •|
| =2
•
，知△F1MF2为等边三角形，由此能导出椭圆C的方程．
（2）显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，即直线PQ分斜率不存在时，|PQ|=
=3，|F1F2|=2，S△PF1Q=
×3×2=3，当直线PQ斜率存在时，设它的斜率为k，则直线PQ的方程为y=k（x-1），k≠0，代入椭圆C的方程，消去x的并整理得：（4k2+3）y2+6ky-9k2=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| a2 |
| c |
| MF1 |
| MF2 |
| MF1 |
| MF2 |
| MF1 |
| MF2 |
（2）显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，即直线PQ分斜率不存在时，|PQ|=
| 2b2 |
| a |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）据题意，设椭圆C的方程为
+
=1，a＞b＞0，∵直线x=4为椭圆C的准线，∴
=4
又|
|=|
|，∴M为椭圆C短轴上的顶点，
∵|
| •|
| =2
•
，∴cos∠F1MF2=
=
，
∴∠F1MF2=60°，△F1MF2为等边三角形
∴α=|
| =|
| =2c，故a2=4c=2a，∴a=2，c=1，
且b2=3，∴椭圆C的方程为
+
=1
（2）显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，即直线PQ分斜率不存在时，
|PQ|=
=3，|F1F2|=2，
∴S△PF1Q=
×3×2=3，
当直线PQ斜率存在时，设它的斜率为k，
则直线PQ的方程为y=k（x-1），k≠0，代入椭圆C的方程，消去x的并整理得：
（4k2+3）y2+6ky-9k2=0，
△=36k2+36k2（4k2+3）＞0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=
，y1y2=
，
∴|PQ|=
•|y1-y2|=
•
=
，
设4k2+3=t，则t＞3，此时k2=
，
S△PF1Q=12
•3
∵0＜
＜
，∴0＜S△PF1Q＜3，
综上，直线PQ与x轴垂直时，△PF1Q的面积最大，且最大面积为3．
设△PF1Q内切圆半径为r，则
S△PF1Q=
(|
|+|
|+|
|)•r=4R，
∴4r≤3，r≤
，∴r=
时，△PF1Q内切圆面积最大，此时不存在，
直线PQ与x轴垂直，∴
=
，即λ=1．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| a2 |
| c |
又|
| MF1 |
| MF2 |
∵|
| MF1 |
| MF2 |
| MF1 |
| MF2 |
| ||||
|
|
| 1 |
| 2 |
∴∠F1MF2=60°，△F1MF2为等边三角形
∴α=|
| MF1 |
| MF2 |
且b2=3，∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，即直线PQ分斜率不存在时，
|PQ|=
| 2b2 |
| a |
∴S△PF1Q=
| 1 |
| 2 |
当直线PQ斜率存在时，设它的斜率为k，
则直线PQ的方程为y=k（x-1），k≠0，代入椭圆C的方程，消去x的并整理得：
（4k2+3）y2+6ky-9k2=0，
△=36k2+36k2（4k2+3）＞0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=
| -6k |
| 4k2+3 |
| -9k2 |
| 4k2+3 |
∴|PQ|=
1+
|
1+
|
| (y1+y2)2-4y1y2 |
| 12(1+k2) |
| 4k2+3 |
设4k2+3=t，则t＞3，此时k2=
| t-3 |
| 4 |
S△PF1Q=12
|
-3(
|
∵0＜
| 1 |
| t |
| 1 |
| 3 |
综上，直线PQ与x轴垂直时，△PF1Q的面积最大，且最大面积为3．
设△PF1Q内切圆半径为r，则
S△PF1Q=
| 1 |
| 2 |
| PF1 |
| PQ |
| QF1 |
∴4r≤3，r≤
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
直线PQ与x轴垂直，∴
| PF2 |
| F2Q |
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，注意韦达定和根的判别式的合理运用．
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