题目内容
11．已知数列{an}满足a1=1，an+1=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_{n}+1}$（n∈N*），则a2013等于（ ）| A． | 1 | B． | -$\sqrt{3}$+2 | C． | -$\sqrt{3}$-2 | D． | $\sqrt{3}$-2 |
分析 利用递推公式求出该数列的前4项，从而得到数列{an}是以3为周期的周期数列，由此能求出a2013．
解答 解：∵数列{an}满足a1=1，an+1=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_{n}+1}$（n∈N*），
∴a2=$\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}-2$，
a3=$\frac{\sqrt{3}-2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}（\sqrt{3}-2）+1}$=$\frac{1}{\sqrt{3}-2}$=-$\sqrt{3}-2$，
a4=$\frac{-\sqrt{3}-2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}（-\sqrt{3}-2）+1}$=1，
∴数列{an}是以3为周期的周期数列，
又2013=671×3，
∴a2013=a3=-$\sqrt{3}-2$．
故选：C．
点评 本题考查数列的第2013项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．
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| A． | 1 | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |
