Question

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．

Answer 1

分析：（解法一）主要依乙所验的次数分类，并求出每种情况下被验中的概率，再求甲种方案的次数不少于乙种次数的概率；
（解法二）先求所求事件的对立事件即甲的次数小于乙的次数，再求出它包含的两个事件“甲进行的一次即验出了和甲进行了两次，乙进行了3次”的概率，再代入对立事件的概率公式求解．

解答：解：（解法一）：主要依乙所验的次数分类：
若乙验两次时，有两种可能：
①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：

C 2 4 A 3 3

A 3 5

 ×

1

A 1 3

 =

6×6

3×4×5

×

1

3

=

1

5

（也可以用

C 2 4

C 3 5

×

1

C 1 3

=

6

10

×

1

3

=

1

5

）
②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次验中没有，均可以在第二次结束）

A 3 4

A 3 5

A 1 2

A 2 2

=

24

5×3×4

=

2

5

（

C 3 4

C 3 5

=

4

10

×

1

2

=

1

5

）
∴乙只用两次的概率为

1

5

+

2

5

=

3

5

．
若乙验三次时，只有一种可能：
先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为：∴在三次验出时概率为

2

5

∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：

3

5

×(1-

1

5

)+

2

5

(1-

1

5

-

1

5

)=

12

25

+

6

25

=

18

25

（解法二）：设A为甲的次数不小于乙的次数，则

.

A

表示甲的次数小于乙的次数，
则只有两种情况，甲进行的一次即验出了和甲进行了两次，乙进行了3次．
则设A₁，A₂分别表示甲在第一次、二次验出，并设乙在三次验出为B
则P(A1)=

1

C 1 5

=

1

5

，P(A2)=

A 1 4

A 2 5

=

1

5

，P(B)=

C 2 4

C 3 5

(1-

1

C 1 3

)=

6

10

×

2

3

=

2

5

∴P(

.

A

)=P(A1)+P(A2)•P(B)=

1

5

+

1

5

×

2

5

=

7

25

∴P(A)=1-

7

25

=

18

25

点评：本题考查了用计数原理来求事件的概率，并且所求的事件遇过于复杂的，要主动去分析和应用对立事件来处理．