Question

19．已知集合A={x|log₂（x²-2x-8）＜4}，B={x|$\frac{1}{4}$＜2${\;}^{{x^2}-x}}$＜64}．
（1）求（∁_RA）∪B；
（2）若（a，a+1）⊆B，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求解出集合A，集合B，根据集合的基本运算求（∁_RA）∪B；
（2）根据（a，a+1）⊆B，求a的取值范围

解答 解析：（1）集合A={x|log₂（x²-2x-8）＜4}，
由log₂（x²-2x-8）＜4得：0＜x²-2x-8＜16，即$\left\{\begin{array}{l}（x+2）（x-4）＞0\\（x+4）（x-6）＜0\end{array}\right.$，
解得：-4＜x＜-2或4＜x＜6，
∴集合A=（-4，-2）∪（4，6）．
那么：∁_RA=（-∞-4]∪[-2，4]∪[6，+∞），
集合B={x|$\frac{1}{4}$＜2${\;}^{{x^2}-x}}$＜64}．
由$\frac{1}{4}$＜${2^{{x^2}-3}}$＜64
可得：2^-2＜${2^{{x^2}-3}}$＜2⁶，即-2＜x²-3＜6，
化简得：1＜x²＜9，
解得：-3＜x＜-1或1＜x＜3，
∴集合B=（-3，-1）∪（1，3），
所以：（∁_RA）∪B=（-∞-4]∪（-3，4]∪[6，+∞）．
（2）由（1）可知集合B=（-3，-1）∪（1，3），
当（a，a+1）⊆B时，满足$\left\{\begin{array}{l}-3≤a\\ a+1≤-1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}1≤a\\ a+1≤3\end{array}\right.$，
解得：-3≤a≤-2或1≤a≤2
所以a的取值范围是[-3，-2]∪[1，2]．

点评 本题考查了对数的计算和指数的计算能力和集合的基本运算，比较基础．属于基础题．