Question

15．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=2，且4S_n=a_n•a_n+1，数列{b_n}中，b₁=$\frac{1}{4}$，且b_n+1=$\frac{n{b}_{n}}{（n+1）-{b}_{n}}$，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{1}{3{b}_{n}}+\frac{2}{3}}}$（n∈N^*），求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，且4S_n=a_n•a_n+1，可得4a₁=a₁•a₂，解得a₂．当n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1），a_n≠0，可得a_n+1-a_n-1=4，可得数列{a_n}的奇数项与偶数项都成等差数列，公差为4，即可得出．
（2）b₁=$\frac{1}{4}$，且b_n+1=$\frac{n{b}_{n}}{（n+1）-{b}_{n}}$，n∈N^*．两边取倒数可得：$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{n+1}{n{b}_{n}}$-$\frac{1}{n}$，化为$\frac{1}{（n+1）{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{n{b}_{n}}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}$，利用“裂项求和”可得b_n+1，可得b_n．c_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=2，且4S_n=a_n•a_n+1，
∴4a₁=a₁•a₂，解得a₂=4．
当n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）=a_n•a_n+1-a_n-1a_n，a_n≠0，
可得a_n+1-a_n-1=4，
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项都成等差数列，公差为4，
∴a_n=a_2k-1=2+4（k-1）=4k-2=2n，
a_2k=4+4（k-1）=4k=2n，
∴a_n=2n．
（2）b₁=$\frac{1}{4}$，且b_n+1=$\frac{n{b}_{n}}{（n+1）-{b}_{n}}$，n∈N^*．
两边取倒数可得：$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{n+1}{n{b}_{n}}$-$\frac{1}{n}$，
化为$\frac{1}{（n+1）{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{n{b}_{n}}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}$，
∴$\frac{1}{（n+1）{b}_{n+1}}$-=$（\frac{1}{（n+1）{b}_{n+1}}-\frac{1}{n{b}_{n}}）$+$（\frac{1}{n{b}_{n}}-\frac{1}{（n-1）{b}_{n-1}}）$+…+$（\frac{1}{2{b}_{2}}-\frac{1}{{b}_{1}}）$+$\frac{1}{{b}_{1}}$
=$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}）$+…+$（\frac{1}{2}-1）$+4
=$\frac{1}{n+1}$+3，
∴b_n+1=$\frac{1}{3n+4}$，可得b_n=$\frac{1}{3n+1}$．当n=1时也成立．
∴c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{1}{3{b}_{n}}+\frac{2}{3}}}$=$\frac{2n}{{2}^{\frac{3n+1+2}{3}}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴{c_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．