Question

2．设函数y=f（x）是定义在R上以1为周期的函数，若g（x）=f（x）-2x在区间[2，3]上的值域为[-2，6]，则函数g（x）在[-2017，2017]上的值域为[-4030，4044]．

Answer 1

分析 由已知不妨设g（x₀）=-2，g（x₁）=6，x₀，x₁∈[2，3]，利用f（x）的周期为1可求g（x₀+n）．同理可求g（x₁+n）．再利用函数的单调性可求g（x）在[-2017，2017]上的最小值、最大值，从而得g（x）在[-2017，2017]上的值域．

解答 解：由g（x）在区间[2，3]上的值域为[-2，6]，可设g（x₀）=-2，g（x₁）=6，x₀，x₁∈[2，3]，g（x₀）=f（x₀）-2x₀=-2，
∵y=f（x）是定义在R上以1为周期的函数，∴g（x₀+n）=f（x₀+n）-2（x₀+n）=f（x₀）-2x₀-2n=-2-2n．
同理g（x₁+n）=6-2n，
2017-3=2014，于是g（x）在[-2017，2017]上的最小值是-2-2×2014=-4030；-2017-2=-2019，于是g（x）在[-2017，2017]上的最大值是6-2（-2019）=4044．
∴函数g（x）在[-2017，2017]上的值域为[-4030，4044]．
故答案为：[-4030，4044]．

点评 本题考查了函数的值域、函数的周期性及其应用，考查了利用所学知识解决问题的能力．