Question

（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ? ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D，E，F分别是BC，PB，CA的中点．

（1）证明平面PBF⊥平面PAC；

（2）判断AE是否平行平面PFD？并说明理由；

（3）若PC = AB = 2，求三棱锥P ? DEF的体积．

 

Answer 1

（1）证明：平面PBF⊥平面PAC；（2）AE不平行平面PFD；（3）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证明平面PBF⊥平面PAC，知需要在平面PBF内找到一条直线与平面PAC垂直即可，由题意可以选择证明BF⊥平面PAC；（2）用反证法证明,假设AE平行平面PFD，然后通过题目的条件推出矛盾即可；（3）因为E是PB的中点，所以三棱锥三棱锥是同底等高的，所以,因此 ．

解：（1）∵PC⊥平面ABC，BF平面ABC，∴PC⊥BF．

∵△ABC为正三角形，F 是CA的中点 ∴BF⊥AC．又∵PC∩AC ? C．

∴BF⊥平面PAC． ∵BF平面PBF，∴平面PBF⊥平面PAC． 4分

（2）AE不平行平面PFD．

反证法：假设AE∥平面PFD．∵AB∥FD，FD平面PFD，AB平面PFD

∴AB∥平面PFD．∵AE、AB 是平面ABE内两条相交直线，

∴平面ABE∥平面PFD．

而∵P∈平面ABE，P∈平面PFD，矛盾． 则假设不成立．即AE不平行平面PFD． 8分

（3）∵E是PB的中点 ∴ ．

因为D,F是BC,AC的中点，所以

又因为 PC⊥平面ABC

所以＝××S△ABC ×PC＝×××?． 12分

考点： 1、面面垂直的判定定理；2、反证法；3、三棱锥体积公式．