Question

2．设f₁（x）=cosx，定义f_n+1（x）是f_n（x）的导数，即f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N^*，若△ABC的内角A满足f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₄（A）=0，则sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知分别求出f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x），得到从第五项开始，f_n（x）的解析式重复出现，每4次一循环，再结合f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）+f₂₀₁₄（A）=0得到cosA-sinA=0，则A可求

解答 解：∵f₁（x）=cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=sinx，
f₅（x）=f₄′（x）=cosx，
…
从第五项开始，f_n（x）的解析式重复出现，每4次一循环．
∴f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0
∴f₂₀₁₃（x）=f_4×503+1（x）=f₁（x）=cosx，
f₂₀₁₄（x）=）=f_4×503+2（x）=f₂（x）=-sinx，
∵f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）+f₂₀₁₄（A）=0，
∴cosA-sinA=0，
∵A为三角形的内角
∴sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了导数的运算，考查了基本初等函数的导数公式，关键是规律的发现．是中档题