Question

4．设空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若点P满足向量关系$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$（x+y+z=1），试问：P，A，B，C四点是否共面？并说明理由．

Answer 1

分析 由已知得$\overrightarrow{OP}$=（1-y-z）$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$，由此利用空间向量共面定理能证明P，A，B，C四点共面．

解答 解：P，A，B，C四点共面．
理由如下：
∵$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$（x+y+z=1），
∴$\overrightarrow{OP}$=（1-y-z）$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$，
即$\overrightarrow{AP}$=y$\overrightarrow{AB}$+z$\overrightarrow{AC}$，
由共面定理可知向量$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$共面，
∴P，A，B，C四点共面．

点评 本题考查四点共面的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量共面定理的合理运用．