Question

20．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，短半轴的长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的左焦点为F，上顶点为A，与直线FA平行的直线l与椭圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得b，结合椭圆离心率及隐含条件求得a，c，则椭圆方程可求；
（2）由（1）求得F、A的坐标，进一步求出与直线FA平行的直线l的方程，与椭圆方程联立，利用判别式等于0求解．

解答 解：（1）∵a²=b²+c²，且b=2，∴a²=4+c²，…（2分）
又 $\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，…（3分）
以上二式联立，解得$a=\sqrt{5}，\;\;c=1$．…（5分）
∴椭圆C的方程$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$； …（6分）
（2）由（1）得，点F，A的坐标分别为（-1，0），（0，2），
∴直线FA的斜率为$\frac{0-2}{-1-0}=2$，…（7分）
∵直线FA与直线l平行，
∴直线l的斜率为2，设直线l的方程为y=2x+m，…（8分）
与$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$联立消去y，得24x²+20mx+5m²-20=0．…（9分）
∵直线l与椭圆C相切，
∴△=（20m）²-4×24（5m²-20）=0，解得$m=±2\sqrt{6}$．…（11分）
∴直线l的方程为$y=2x±2\sqrt{6}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．