Question

5．已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₄=$\frac{1}{8}$，$\frac{{S}_{4}}{{S}_{2}}$=$\frac{5}{4}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=n²+n．
（1）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足（n+1）2ⁿa_nb_nc_n=1，求数列{a_n+c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式与求和公式可得a_n，利用递推关系可得b_n．
（2）利用等比数列的求和公式、“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵a₄=$\frac{1}{8}$，$\frac{{S}_{4}}{{S}_{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∴${a}_{1}{q}^{3}$=$\frac{1}{8}$，$\frac{{a}_{1}（1+q+{q}^{2}+{q}^{3}）}{{a}_{1}（1+q）}$=$\frac{5}{4}$，
解得a₁=1，q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∵T_n=n²+n，∴n=1时，b₁=T₁=2．
n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，n=1时也成立．
∴b_n=2n．
（2）∵（n+1）2ⁿa_nb_nc_n=1，
∴c_n=$\frac{1}{4n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴数列{a_n+c_n}的前n项和=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$2-\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{11}{4}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．