Question

16．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆上、下顶点与焦点所组成的四边形为正方形，四个顶点围成的图形面积为$2\sqrt{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：焦点在x轴上，设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b}）$，由b=c，$2ab=2\sqrt{2}$及b²+c²=a²，解得a和b的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设出直线l的方程和A，B的坐标，进而把直线方程代入椭圆方程，消去y，由△＞0，求得k的范围，根据韦达定理求得x₁+x₂，x₁x₂的表达式，根据弦长公式及点到直线的距离公式求得|AB|及d，求得△AOB的面积的表达式，利用基本不等式的关系，求得S的最大值，进而求得k，则直线方程可得．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b}）$，
由已知得b=c，且$2ab=2\sqrt{2}$，
又由b²+c²=a²，
解得a²=2，b²=c²=1，所以椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去y得关于x的方程：（1+2k²）x²+8kx+6=0，
由直线l与椭圆相交于A、B两点，
∴△＞0⇒64k²-24（1+2k²）＞0，解得${k^2}＞\frac{3}{2}$，
又由韦达定理得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{1+2{k^2}}}\\{x_1}•{x_2}=\frac{6}{{1+2{k^2}}}\end{array}\right.$，
∴$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{{\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+2{k^2}}}\sqrt{16{k^2}-24}$．
原点O到直线l的距离$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\frac{{\sqrt{16{k^2}-24}}}{{1+2{k^2}}}=\frac{{2\sqrt{2}•\sqrt{2{k^2}-3}}}{{1+2{k^2}}}$，
令$m=\sqrt{2{k^2}-3}（{m＞0}）$，则2k²=m²+3，
∴$S=\frac{{2\sqrt{2}m}}{{{m^2}+4}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{m+\frac{4}{m}}}≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，当且仅当$m=\frac{4}{m}$，
即m=2时，${S_{max}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
此时$k=±\frac{{\sqrt{14}}}{2}$，
所以，所求直线方程为$±\sqrt{14}x-2y+4=0$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式，考查基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．