Question

抛物线x²=4y准线上任一点R作抛物线的两条切线，切点分别为M、N，若O是坐标原点，则

OM

•

ON

=

 

．

Answer 1

分析：先对抛物线方程求导，求切线方程的斜率，设出M，N的坐标，进而根据斜率相等求得

x12 4 +1

x1

=

x1

2

，求得x₁=±2，x0=

2

x2

-

x2

2

，进而求得x₁和x₂，根据抛物线方程求得y₁y₂的值，进而根据

OM

•

ON

=x1x2+y1y2求得答案．

解答：解：y=

x2

4

，y′=

x

2

，取R（0，-1），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则

x12 4 +1

x1

=

x1

2

，
∴x₁=±2，x0=

2

x2

-

x2

2

，
∴x₁=-2，x₂=2，得y1y2=

(x1x2)2

4

=1，
∴

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=-3；
故答案为：-3

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，以及向量的计算．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．