Question

1．如图是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，若f（α）=$\frac{3}{5}$，则sinα的值是（　　）

• A． -$\frac{7}{25}$
• B． $\frac{7}{25}$
• C． -$\frac{24}{25}$
• D． $\frac{24}{25}$

Answer 1

分析 先根据函数f（x）的图象求出周期T以及ω、φ的值，写出f（x）的解析式，再根据三角恒等变换求出sinα的值．

解答 解：在同一周期内，函数f（x）在x=$\frac{π}{2}$时取得最大值，x=$\frac{5π}{2}$时取得最小值，
∴函数f（x）的周期T满足$\frac{T}{2}$=$\frac{5π}{2}$-$\frac{π}{2}$=2π，
由此得T=$\frac{2π}{ω}$=4π，解得ω=$\frac{1}{2}$，
∴函数表达式为f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+φ），
又当x=$\frac{π}{2}$时f（x）取得最大值，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得φ=$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z；
又0＜φ＜π，∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）；
又f（α）=sin（$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
∴cos（α+$\frac{π}{2}$）=1-2sin²（$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{4}$）=1-2×${（\frac{3}{5}）}^{2}$=$\frac{7}{25}$，
∴sinα=-cos（α+$\frac{π}{2}$）=-$\frac{7}{25}$．
故选：A．

点评 本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，也考查了三角恒等变换的应用问题，是基础题目．