题目内容

设G是△ABC的重心，且 $数学公式$ ，则B的大小为

A.
15°
B.
30°
C.
45°
D.
60°

D
分析：设出三角形的三边分别为a，b，c，根据正弦定理把已知的等式化简，然后由G为三角形的重心，根据中线的性质及向量的加法法则分别表示出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，代入化简后的式子中，然后又根据 $\text{[math]}$ 等于 $\text{[math]}$ 加 $\text{[math]}$ ，把上式进行化简，最后得到关于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的关系式，由 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为非零向量，得到两向量前的系数等于0，列出关于a，b及c的方程组，不妨令c=56，即可求出a与b的值，然后根据余弦定理表示出cosB，把a，b，c的值代入即可求出cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到B的度数．
解答：因为 $\text{[math]}$
设三角形的边长顺次为a，b，c，根据正弦定理得：
56a $\text{[math]}$ +40b $\text{[math]}$ +35 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
由点G为三角形的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：
3 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，3 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，3 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
代入上式得：56a（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+40b（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+35c（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，上式可化为：
56a（2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+40b（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+35c（- $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
即（112a-40b-35c） $\text{[math]}$ +（-56a-40b+70c） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则有 $\text{[math]}$ ，
①-②得：168a=105c，即a：c=35：56，
设a=35k，c=56k，代入①得到b=49k，
所以cosB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，又B∈（0，180°），
则B=60°．
故选D
点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，掌握向量的加法法则及中线的性质，是一道中档题．