Question

17．定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），在区间[-1，1）上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x-m，-1≤x＜0\\|{x-\frac{2}{5}}|，0≤x＜1\end{array}$，其中m∈R，若f（-$\frac{5}{2}$）=f（$\frac{9}{2}$），则f（5m）=（　　）

• A． -$\frac{8}{5}$
• B． -$\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{7}{5}$

Answer 1

分析 根据已知中函数的周期性，结合f（-$\frac{5}{2}$）=f（$\frac{9}{2}$），可得m值，进而得到f（5m）的值．

解答 解：∵f（x）满足f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+1+1）=f（x+1-1），
即f（x+2）=f（x），
∴f（x）是定义在R上且周期为2的函数，
在区间[-1，1）上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x-m，-1≤x＜0\\|{x-\frac{2}{5}}|，0≤x＜1\end{array}$，其中m∈R，
∴f（-$\frac{5}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$-m，f（$\frac{9}{2}$）=|$\frac{2}{5}$-$\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{10}$，
∴m=-$\frac{3}{5}$
∴f（5m）=f（3）=f（-1）=-1+$\frac{3}{5}$=$\frac{2}{5}$，
故选：B

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出m值，是解答的关键．