Question

8．已知M（x₀，y₀）是双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1上的一点，F₁，F₂为C的两个焦点，若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$＜0，则y₀的取值范围为（　　）

• A． （-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）
• B． （-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）
• C． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• D． （-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）

Answer 1

分析 求出焦点坐标，得到$\overrightarrow{M{F}_{1}}$，$\overrightarrow{M{F}_{2}}$的坐标，根据数量积小于零列出不等式解出．

解答 解：∵M（x₀，y₀）是双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1上的一点，∴x₀²=1+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$．
F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x₀，-y₀）$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x₀，-y₀）．
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-x₀）（$\sqrt{3}-{x}_{0}$）+y₀²=x₀²+y₀²-3=$\frac{3}{2}$y₀²-2＜0．
解得-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜y₀＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了双曲线的性质，向量的数量积运算，属于基础题．