Question

16．在公差不为零的等差数列{a_n}中，已知a₂=3，且a₁、a₃、a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，记b_n=$\frac{9}{{2{S_{3n}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意得（1+2d）²=1+12d，求出公差d的值，即可得到数列{a_n}的通项公式．
（2）利用等差数列的求和公式求得S_3n，然后利用裂项相消法求和即可．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，依题意得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+d=3}\\{{{（{{a_1}+2d}）}^2}={a_1}（{{a_1}+6d}）}\\{d≠0}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=1}\end{array}\right.$，
所以a_n=2+（n-1）×1=n+1；
（2）由（1）知，等差数列{a_n}的首项是2，公差是1，
则S_3n=3n×2+$\frac{3n•（3n-1）}{2}×1$=$\frac{9n（n+1）}{2}$，
∴${b_n}=\frac{9}{{2{S_{3n}}}}=\frac{9}{2}×\frac{2}{{9n（{n+1}）}}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$，
故${T_n}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的通项公式，用裂项相消法进行求和，属于中档题．