Question

在等式cos2x＝2cos²x－1(x∈R)的两边求导，得：，由求导法则，得(－sin2x)·2＝4cosx·(－sinx)，化简得等式：sin2x＝2cosx·sinx．

(1)利用上题的想法(或其他方法)，结合等式(x∈R，正整数n≥2)，证明：．

(2)对于正整数n≥3，求证：

(i)；

(ii)；

(iii)．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)在等式两边对求导得 　　 　　移项得　　(*) 　　(2)(i)在(*)式中，令，整理得 　　所以 　　(ii)由(1)知 　　两边对求导，得 　　在上式中，令 　　 　　即， 　　亦即　　(1) 　　又由(i)知　　(2) 　　由(1)＋(2)得 　　(iii)将等式两边在上对积分 　　由微积分基本定理，得 　　所以