Question

17．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞1），F₁，F₂为椭圆的两个焦点，且F₁，F₂到直线$\frac{x}{a}$$+\frac{y}{b}$=1的距离之和为$\sqrt{3}$b，则其离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 直线$\frac{x}{a}$$+\frac{y}{b}$=1可化为：bx+ay-ab=0，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞1）焦点在x轴上，焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），根据点到直线的距离公式求出两焦点到直线的距离和，得出a=$\sqrt{3}$b，从而求离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

解答 解：直线$\frac{x}{a}$$+\frac{y}{b}$=1可化为：bx+ay-ab=0，
由椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞1）焦点在x轴上，焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），
∴F₁，F₂到直线 $\frac{x}{a}$$+\frac{y}{b}$=1=1的距离之和为d=$\frac{丨-bc-ab丨+丨bc-ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{3}$b，
化简得：a=$\sqrt{3}$b，
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，属于中档题．