Question

18．已知函数f（x）=sin²（x+$\frac{π}{4}$）+cos²x-1．
（1）求f（x）的最小正周期、振幅、初相、对称中心；
（2）用五点法作出它一个周期内的图象；
（3）y=f（x）的图象可经过怎样的变换得到y=sinx的图象；
（4）若x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换，化简函数f（x）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的基本性质，得出结论．
（2）用五点法作出它一个周期内的图象．
（3）利用f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象变换规律，得出结论．π
（4）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．

解答 解：∵函数f（x）=sin²（x+$\frac{π}{4}$）+cos²x-1=$\frac{1-cos（2x+\frac{π}{2}）}{2}$+$\frac{1+cos2x}{2}$-1=$\frac{1+sin2x}{2}$+$\frac{1+cos2x}{2}$-1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
（1）故f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π、振幅为$\frac{\sqrt{2}}{2}$、初相为$\frac{π}{4}$．
令2x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，可得f（x）的图象的对称中心为 （$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，0）．
（2）用五点法作出它一个周期内的图象，
列表：

x	-$\frac{π}{8}$	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$
2x+$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y	0	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	0	-$\frac{\sqrt{2}}{2}$	0

作图：

（3）把f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位，可得y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2（x-$\frac{π}{8}$）+$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x的图象；
再把所得图象上点的横坐标变为原来的2倍，可得y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx的图象；
再把所得图象上点的纵坐标变为原来的$\sqrt{2}$倍，可得y=sin x的图象．
（4）∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
即要求的f（x）的值域为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的基本性质，用五点法作出f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）在一个周期内的图象以及它的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．