Question

某房地产开发商在其开发的一个小区前面建了一个弓形景观湖，如图，该弓形所在的圆是以AB为直径的圆，已知AB=300m，CD与AB平行且它们之间的距离为50

2

m，开发商计划从A点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥与地面和湖面均平行），为了使小区居民可以充分的欣赏湖景，所以要将湖面上的景观桥PQ的长度设计到最长．
（1）记∠AOP=2θ，试用θ表示线段PQ；
（2）求PQ的最大值．

Answer 1

考点：在实际问题中建立三角函数模型

专题：计算题,导数的概念及应用,三角函数的求值

分析：（1）利用三角函数，可用θ表示线段PQ；
（2）利用导数求PQ的最大值．

解答： 解：（1）PA=300sinθ，AQ=

50 2

cosθ

，
∴PQ=PA-AQ=300sinθ-

50 2

cosθ

，
（2）令f(θ)=300sinθ-

50 2

cosθ

，则f′(θ)=300cosθ-

50 2 sinθ

cos2θ

，
∴f′(θ)=50

2

cosθ[3

2

-tanθ(1+tan2θ)]，
∴f′(θ)=-50

2

cosθ(tan3θ+tanθ-3

2

)，
∴f′(θ)=-50

2

cosθ(tanθ-

2

)(tan2θ+

2

tanθ+3)
令f'（θ）=0，则tanθ=

2

，
结合问题条件分析知，当tanθ=

2

时，f(θ)max=50

6

．
综上，PQ的最大值为50

6

(m)．

点评：本题考查在实际问题中建立三角函数模型，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．