Question

11．设数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}}}$，记数列{b_n•b_n+1}的前n项和T_n，求使T_n＜$\frac{9}{10}$成立的n的最大值．

Answer 1

分析 （1）n≥2时，S_n-1=2a_n-1-a₁，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，a_n=2a_n-1，a₁，a₂+1，a₃成等差数列，即a₁+a₃=2（a₂+1）．即可求得a₁=2，根据等比数列的通项公式即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}}}=\frac{1}{n}$，b_n•b_n+1=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，采用“裂项法”即可求得T_n，由T_n＜$\frac{9}{10}$，$\frac{n}{n+1}＜\frac{9}{10}$，即n＜9，即可求得n的最大值．

解答 解：（1）由已知S_n=2a_n-a₁，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-a₁，
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1（n＞1），
即a_n=2a_n-1（n＞1）．
∴a₂=2a₁，a₃=4a₁．…（2分）
∵a₁，a₂+1，a₃成等差数列，即a₁+a₃=2（a₂+1）．
∴a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得a₁=2．…（4分）
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴${a_n}={2^n}$．…（6分）
（2）由（1）得${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}}}=\frac{1}{n}$，
∴${T_n}=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n×（n+1）}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．
由${T_n}＜\frac{9}{10}$，得$\frac{n}{n+1}＜\frac{9}{10}$，即n＜9，
∴使${T_n}＜\frac{9}{10}$成立的n的最大值为8．…（12分）

点评 本题考查等比数列通项公式，等差数列的性质，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．