在极坐标系Ox中.A.将点A绕极点逆时针旋转$\frac{π}{3}$.然后极径伸长为原来的2倍得到点B．以极点O为原点.x轴与极轴重合.建立直角坐标系.曲线C:$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$ ．(I)求B在直角坐标系下的坐标,(Ⅱ)点P为曲线C上一动点.求△APB面积的最大值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．在极坐标系Ox中，A（1，$\frac{π}{3}$），将点A绕极点逆时针旋转$\frac{π}{3}$，然后极径伸长为原来的2倍得到点B．以极点O为原点，x轴与极轴重合，建立直角坐标系，曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$ （θ为参数）．
（I）求B在直角坐标系下的坐标；
（Ⅱ）点P为曲线C上一动点，求△APB面积的最大值．

分析（I）根据极坐标的几何意义得出直角坐标．
（II）求出|AB|和直线AB的方程，求得P到直线AB的最大距离，代入三角形的面积公式求出最大面积．

解答解：（I）B点的极坐标为（2，$\frac{2π}{3}$），2cos$\frac{2π}{3}$=-1，2sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴B的直角坐标方程为（-1，$\sqrt{3}$）．
（II）点A的直角坐标方程为（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴直线AB的方程x+$\sqrt{3}$y-2=0．|AB|=$\sqrt{（\frac{1}{2}+1）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
P到直线AB的距离d=$\frac{|cosθ+\sqrt{3}sinθ-3|}{2}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{6}）-3|}{2}$，
∴当sin（$θ+\frac{π}{6}$）=-1时，d取得最大值$\frac{5}{2}$．
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}|AB|•d$≤$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{5}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．

点评本题考查了极坐标与直角坐标的转化，距离公式的应用，属于基础题．