Question

2．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁的中点，且AB=2，
（ 1 ）求证：BD₁∥面AEC；
（2）求三棱锥C-ADE的体积．

Answer 1

分析 （1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，推导出OE∥BD₁，由此能证明BD₁∥面AEC．
（2）三棱锥C-ADE的体积V_C-ADE=V_E-ADC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ADC}×DE$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，ABCD是正方形，
∴O是BD的中点，∵E为DD₁的中点，∴OE∥BD₁，
∵BD₁?面AEC，OE?面AEC，
∴BD₁∥面AEC．
解：（2）∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁的中点，且AB=2，
∴三棱锥C-ADE的体积：
V_C-ADE=V_E-ADC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ADC}×DE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AD×DC×DE$=$\frac{1}{6}×2×2×1$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．