Question

1．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥平面PAD
（Ⅱ）若AP=AB=2，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PA⊥AE，BC⊥AE，从而AD⊥AE，由此能证明AE⊥平面PAD．
（Ⅱ）推导出平面PAC⊥平面ABCD，过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连结ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，由此能求出二面角E-AF-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，
又底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是正三角形，又E是BC的中点，
∴BC⊥AE，又BC∥AD，∴AD⊥AE，
又AD∩PA=A，PA、AD?平面PAD，
∴AE⊥平面PAD．
解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABCD，
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，
过O作OS⊥AF于S，连结ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AE•sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AO=AE•cos30°=$\frac{3}{2}$，
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO•sin45°=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
又SE=$\sqrt{E{O}^{2}+S{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{4}$，
在Rt△ESO中，$cos∠ESO=\frac{SO}{SE}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴二面角E-AF-C的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．