Question

1．已知等差数列{a_n}满足a₃=7，a₅+a₇=26，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₃=7，a₅+a₇=26，可得a₁+2d=7，2a₁+10d=26，解得a₁，d．即可得出．
（Ⅱ）由（I）可得：S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴a₁+2d=7，2a₁+10d=26，解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（Ⅱ）由（I）可得：S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．