Question

19．已知三个集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+a-1=0}，C={x|x²-bx+2=0}，问同时满足B⊆A，A∪C=A的实数a、b是否存在？若存在，求出a、b；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 由A={x|x²-3x+2=0}={1，2}，B={x|x²-ax+a-1=0}={x|（x-1）[x-（a-1）]=0}，又B⊆A，求出a的值，然后由A∪C=A，得C⊆A，则C中元素有以下三种情况，分别求出b的值，不符合题意的舍去，最后可得b的值．

解答 解：∵A={x|x²-3x+2=0}={1，2}，B={x|x²-ax+a-1=0}={x|（x-1）[x-（a-1）]=0}，
又∵B⊆A，∴a-1=1，或a-1=2，∴a=2，或a=3．
∵A∪C=A，∴C⊆A，则C中元素有以下三种情况：①若C=∅，即方程x²-bx+2=0无实根，∴△=b²-8＜0，∴$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$，
②若C={1}或{2}，即方程x²-bx+2=0有两个相等的实根，∴△=b²-8=0，∴b=±2$\sqrt{2}$，此时C={$\sqrt{2}$}或{-$\sqrt{2}$}不符合题意，舍去，
③若C={1，2}，则b=1+2=3，而两根之积恰好为2．
综上所述，a=2，或a=3，b=3或$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了集合的包含关系判断及应用，考查了分类讨论的思想方法，是中档题．