Question

19．将编号为1，2，3，4的四张同样材质的卡片，随机放入编码分别为1，2，3，4的四个小盒中，每盒仅放一张卡片，若第k号卡片恰好落入第k号小盒中，则称其为一个匹对，用ξ表示匹对的个数．
（1）求第2号卡片恰好落入第2号小盒内的概率；
（2）求匹对数ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）设A为“第2张卡片恰好落入第2号卡片”，由此利用排列及等可能事件概率计算公式能求出第2号卡片恰好落入第2号小盒内的概率．
（2）ξ的可能取值为0，1，2，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）设A为“第2张卡片恰好落入第2号卡片”，
则P（A）=$\frac{{A}_{3}^{3}}{{A}_{4}^{4}}$=$\frac{1}{4}$．
（2）ξ的可能取值为0，1，2，4，
则P（ ξ=0）=$\frac{9}{{A}_{4}^{4}}$=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}×2}{{A}_{4}^{4}}$=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{A}_{4}^{4}}$=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=4）=$\frac{1}{{A}_{4}^{4}}=\frac{1}{24}$，∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	4
P	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{24}$

Eξ=$0×\frac{3}{8}+1×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{4}+4×\frac{1}{24}$=1．

点评 本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．