Question

18．设S_n是数列{a_n}的前n项和，a_n=（-1）ⁿ（2n-1）．
（1）求S₁，S₂，S₃；
（2）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）将n分别取1，2，3，求S₁，S₂，S₃；
（2）关键（1）中规律猜想S_n的表达式，并用数学归纳法证明．

解答 解：（1）S₁=a₁=-1，S₂=a₁+a₂=-1+3=2，S₃=a₁+a₂+a₃=-1+3-5=-3 …（3分）
（2）猜想${S}_{n}=（-1）^{n}n$，（n∈N⁺）…（5分）
证明：①n=1时，左边S₁=-1，右边（-1）¹×1=-1，猜想成立…（6分）
②假设当n=k（k∈N⁺）时猜想成立，即S_k=（-1）^kk…（7分）
S_k+1=S_k+a_k+1=（-1）^kk+（-′1）^k+1[2（k+1）-1]…（8分）
=（-1）^k+1[（2k+1）-k]=（-1）^k+1（k+1）…（10分）
所以，当n=k+1时猜想也成立…（11分）
由①②可知，猜想对任何n∈N⁺都成立…（12分）

点评 本题考查了数学归纳法；关键是利用假设推导n=k+1时猜测成立．