Question

求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内．

Answer 1

答案：
解析：

　　思路解析：四条直线两两相交且不共点，有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线不共点，故而证明要分两种情况．

　　(1)如上图所示，已知d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a、b、c相交于点O．

　　求证：a、b、c、d四线共面．

　　证明：∵d∩a＝P，

　　∴过d、a确定一个平面α(推论2)．

　　同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ．

　　∵O∈a，O∈b，O∈c，∴O∈α，O∈β，O∈γ．

　　∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O．

　　∴α、β、γ重合．∴a、b、c、d四线共面．

　　(2)如下图所示，已知d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，

　　a∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且无三线共点．

　　求证：a、b、c、d四线共面．

　　证明：∵d∩a＝P，∴d和a确定一个平面α(推论2)．

　　∵a∩b＝M，d∩b＝Q，∴M∈α，Q∈α．

　　∴MQα即bα．同理cα．∴a、b、c、d四线共面．

　　方法归纳：通过本题不难看出，证明点或直线共面通常有两种思路：①先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面重合，如本题之(1)；②先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内，如本题之(2)．