题目内容

把边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，构成三棱锥ABCD，则下列命题：
①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大值为
2
12
；
②当体积最大时直线BD和平面ABC所成的角的大小为45°；
③B、D两点间的距离的取值范围是（0，
2
]；
④当二面角D-AC-B的平面角为90°时，异面直线BC与AD所成角为45°．
其中正确结论个数为（　　）
A、4个B、3个C、2个D、1个
考点：棱锥的结构特征
专题：空间位置关系与距离
分析：把边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，构成三棱锥ABCD，如图所示，则下列命题：
①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥，当侧面ACD⊥底面ABC时，体积最大值=
1
3
×
2
2
×
1
2
×1×1=
2
12
；
②由①可知：当体积最大时直线BD和平面ABC所成的角的大小为∠OBD=45°；
③B、D两点间的距离的取值范围是（0，
2
）；
④当二面角D-AC-B的平面角为90°时，由①可知：异面直线BC与AD所成角为90°．
解答： 解：把边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，构成三棱锥ABCD，如图所示，则下列命题：
①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥，当侧面ACD⊥底面ABC时，体积最大值=
1
3
×
2
2
×
1
2
×1×1=
2
12
，正确；
②由①可知：当体积最大时直线BD和平面ABC所成的角的大小为∠OBD=45°，正确；
③B、D两点间的距离的取值范围是（0，
2
），因此不正确；
④当二面角D-AC-B的平面角为90°时，由①可知：异面直线BC与AD所成角为90°，因此不正确．
综上可知：只有①②正确．
故选：C．
点评：本题综合考查了三棱锥的性质、线面垂直的判定与性质、线面角、异面直线所成的角、空间中两点之间的距离、二面角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了空间想象能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
ax(x＞0)
(2-a)x+
2
3
a(x≤0)
在R上为增函数，则a的取值范围是
 
（用区间表示）
按照如图的程序框图执行，则输出的A值为（　　）
A、255B、257
C、511D、513
若函数f（x）=x2-ax+b的两个零点是2和3，则函数g（x）=bx2-ax-1的零点是（　　）
A、-1和
1
6
B、1和-
1
6
C、
1
2
和
1
3
D、-
1
2
和-
1
3
已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对于任意x1、x2∈R都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），若g（x）=log2f（x），则g（x）的图象可以是（　　）
A、
B、
C、
D、
如图所示，可表示函数图象的是（　　） 
A、①B、②③④C、①③④D、②
设椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率e=
2
2
，且点M（-1，
2
2
）在椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l过椭圆的右焦点F2，且与椭圆交于A，B两点，求|AB|的最小值．
已知函数f（x）=xlnx+ax在x=
1
e
处取得极小值．
（Ⅰ）若不等式f（x）-bx+e≥0对一切x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围；
（Ⅱ）若m，n∈（0，e），且m+n=e，求证：f（m）+f（n）＞0．

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