Question

9．等腰△ABC的底边$AB=6\sqrt{6}$，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点．点F在BC边上，且EF⊥AB．现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE．
（Ⅰ）证明EF⊥平面PAE；
（Ⅱ）记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积，求V（x）的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明EF⊥PE，而AB∩PE=E，EF⊥AB，即可证明EF⊥平面PAE；
（Ⅱ）记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积，求出底面面积，可得体积，即可求V（x）的最值．

解答 （Ⅰ）证明：∵EF⊥AB，∴∠BEF=∠PEF=90°，
故EF⊥PE，而AB∩PE=E，
所以EF⊥平面PAE．
（Ⅱ）解：∵PE⊥AE，PE⊥EF，
∴PE⊥平面ABC，即PE为四棱锥P-ACFE的高．
由高线CD及EF⊥AB得EF∥CD，∴$\frac{BE}{BD}=\frac{EF}{CD}$，
由题意知$\frac{x}{{3\sqrt{6}}}=\frac{EF}{3}∴EF=\frac{{\sqrt{6}}}{6}x$
∴${S_{ACFE}}={S_{△ABC}}-{S_{△BEF}}=\frac{1}{2}×6\sqrt{6}×3-\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{6}}}{6}{x^2}$=$9\sqrt{6}-\frac{{\sqrt{6}}}{12}{x^2}$．
而PE=EB=x，∴$V（x）=\frac{1}{3}{S_{ACFE}}•PE=3\sqrt{6}x-\frac{{\sqrt{6}}}{36}{x^3}$，$（0＜x＜3\sqrt{6}）$
∴当x=6时V（x）_max=V_（6）=$12\sqrt{6}$．

点评 本题考查三视图，考查线面垂直的证明，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．