Question

11．若数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}+λ}{{a}_{n}+1}$，（n∈N^*，λ＞0）．
（1）若数列{a_n}单调递减，求λ的取值范围；
（2）若λ=4，①求证：数列{|a_n-2|}单调递减；
②求证：1-（$\frac{2}{3}$）ⁿ≤$\frac{1}{{a}_{1}+2}$$+\frac{1}{{a}_{2}+2}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+2}$≤$\frac{n}{3}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）由题意知a₂=1+$\frac{λ-1}{1+1}$，从而可得1+$\frac{λ-1}{1+1}$＜1，从而解得0＜λ＜1；再利用数学归纳法证明0＜λ＜1时数列{a_n}单调递减；从而解得；
（2）①化简a_n+1=$\frac{{a}_{n}+4}{{a}_{n}+1}$为|a_n+1-2|=$\frac{|{a}_{n}-2|}{{a}_{n}+1}$＜|a_n-2|，从而证明；
②可知|a_n-2|≤|a₁-2|=1，从而可得1≤a_n≤3，从而可得$\frac{1}{{a}_{n+1}+2}$=$\frac{{a}_{n}+1}{3}$•$\frac{1}{{a}_{n}+2}$≥$\frac{2}{3}$$\frac{1}{{a}_{n}+2}$，$\frac{1}{{a}_{n}+2}$≤$\frac{1}{3}$，从而证明．

解答 解：（1）∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}+λ}{{a}_{n}+1}$，a₁=1，λ＞0，
∴a_n＞0恒成立；
∴a_n+1=1+$\frac{λ-1}{{a}_{n}+1}$，故a₂=1+$\frac{λ-1}{1+1}$，
∵数列{a_n}单调递减，
∴1+$\frac{λ-1}{1+1}$＜1，
∴0＜λ＜1；
当0＜λ＜1时，显然a₁＞a₂，
假设当n=k（k∈N^*）时，a_k＞a_k+1，
∴$\frac{1}{{a}_{k}+1}$＜$\frac{1}{{a}_{k+1}+1}$，
又∵λ-1＜0，
∴$\frac{λ-1}{{a}_{k}+1}$＞$\frac{λ-1}{{a}_{k+1}+1}$，
即1+$\frac{λ-1}{{a}_{k}+1}$＞1+$\frac{λ-1}{{a}_{k+1}+1}$，
即a_k+1＞a_k+2，
故当n=k+1时也成立；
故数列{a_n}单调递减；
故0＜λ＜1；
（2）①证明：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}+4}{{a}_{n}+1}$，
∴|a_n+1-2|=|$\frac{{a}_{n}+4}{{a}_{n}+1}$-2|=$\frac{|{a}_{n}-2|}{{a}_{n}+1}$＜|a_n-2|，
故数列{|a_n-2|}单调递减；
②∵数列{|a_n-2|}单调递减，
∴|a_n-2|≤|a₁-2|=1，∴1≤a_n≤3，
∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}+4}{{a}_{n}+1}$，∴a_n+1+2=$\frac{{a}_{n}+4}{{a}_{n}+1}$+2=$\frac{3（{a}_{n}+2）}{{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}+2}$=$\frac{{a}_{n}+1}{3}$•$\frac{1}{{a}_{n}+2}$≥$\frac{2}{3}$$\frac{1}{{a}_{n}+2}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}+2}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}+2}$$+\frac{1}{{a}_{2}+2}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+2}$≥$\frac{\frac{1}{3}（1-（\frac{2}{3}）^{n}）}{1-\frac{2}{3}}$=1-（$\frac{2}{3}$）ⁿ，
∵1≤a_n≤3，∴$\frac{1}{{a}_{n}+2}$≤$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}+2}$$+\frac{1}{{a}_{2}+2}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+2}$≤$\frac{1}{3}$•n=$\frac{n}{3}$；
故1-（$\frac{2}{3}$）ⁿ≤$\frac{1}{{a}_{1}+2}$$+\frac{1}{{a}_{2}+2}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+2}$≤$\frac{n}{3}$（n∈N^*）．

点评 本题考查了数学归纳法的应用及讨论的思想应用，同时考查了放缩法的应用及数列的性质的判断与应用．