Question

11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边长，a=2$\sqrt{3}$，tan$\frac{A+B}{2}+tan\frac{C}{2}$=4，sinBsinC=cos²$\frac{A}{2}$．则b=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 tan$\frac{A+B}{2}+tan\frac{C}{2}$=$\frac{1}{tan\frac{C}{2}}$+$tan\frac{C}{2}$=4，利用同角三角函数基本关系式可得：sinC=$\frac{1}{2}$，C=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．可得sinBsinC=$\frac{1}{2}$sinB=cos²$\frac{A}{2}$=$\frac{1+cosA}{2}$．对C分类讨论，利用和差公式、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：∵tan$\frac{A+B}{2}+tan\frac{C}{2}$=$\frac{1}{tan\frac{C}{2}}$+$tan\frac{C}{2}$=4，∴$\frac{cos\frac{C}{2}}{sin\frac{C}{2}}$+$\frac{sin\frac{C}{2}}{cos\frac{C}{2}}$=4，∴sinC=$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．
∴sinBsinC=$\frac{1}{2}$sinB=cos²$\frac{A}{2}$=$\frac{1+cosA}{2}$．
①C=$\frac{5π}{6}$时，sinB=1+cos$（\frac{π}{6}-B）$＞1，舍去；
②C=$\frac{π}{6}$时，sinB=1+cos$（\frac{5π}{6}-B）$，化为sin$（B+\frac{π}{3}）$=1，
解得B=$\frac{π}{6}$．
∴b=$\frac{\sqrt{3}}{cos\frac{π}{6}}$=2．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的单调性、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．