Question

3．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{AM}+μ\overrightarrow{BN}$，则λ+μ的值为（　　）

• A． $\frac{8}{5}$
• B． $\frac{5}{8}$
• C． 1
• D． -1

Answer 1

分析 根据向量的平行四边形法则和三角形法则和向量的数乘运算即可求出

解答 解：∵$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{DC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，
$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CN}$=$\overrightarrow{BC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AM}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{BN}$，$\overrightarrow{DC}$=$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{AM}$-$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{BN}$
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AM}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{BN}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{AM}$-$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{BN}$=$\frac{6}{5}$$\overrightarrow{AM}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{BN}$，
∵$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{AM}+μ\overrightarrow{BN}$，
∴λ=$\frac{6}{5}$，μ=$\frac{2}{5}$，
∴λ+μ=$\frac{8}{5}$，
故选：A

点评 本题考查了向量的平行四边形法则和三角形法则和向量的数乘运算，属于基础题