Question

5．如图，已知ABC-A₁B₁C₁是所有棱长均相等的正三棱柱，点E是棱AB的中点，点F是棱B₁C₁的中点，点M是棱AA₁上的动点，则二面角B₁-EM-F的正切值不可能等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{15}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{4}$

Answer 1

分析 设棱长为2，利用特殊位置，确定二面角B₁-EM-F的正切值的范围，即可得出结论．

解答 解：设棱长为2，则
当点M在A₁时，${S}_{△{B}_{1}ME}$=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
EF=ME=$\sqrt{5}$，MF=$\sqrt{3}$，
S_△EFM=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{5-\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{51}}{4}$，
∴二面角B₁-EM-F的余弦值$\frac{\sqrt{51}}{8}$，正切值为$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{51}}$；
当点M在A时，
${S}_{△{B}_{1}ME}$=$\frac{1}{2}×1×2$=1，
EF=$\sqrt{5}$，ME=1，MF=$\sqrt{7}$，c
os∠MEF=$\frac{1+5-7}{2×1×\sqrt{5}}$=-$\frac{1}{2\sqrt{5}}$，sin∠MEF=$\sqrt{\frac{19}{20}}$，
S_△EFM=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{5}×\sqrt{\frac{19}{20}}$=$\frac{\sqrt{19}}{4}$，
∴二面角B₁-EM-F的余弦值$\frac{4}{\sqrt{19}}$，正切值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
∴二面角B₁-EM-F的正切值的范围是[$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{51}}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]，
对照选项，可得D不满足．
故选：D．

点评 本题考查二面角B₁-EM-F的正切值的范围，考查特殊化的方法，确定二面角B₁-EM-F的正切值的范围是关键．