Question

2．已知函数f（x）=$\frac{3-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
（1）计算f（3），f（4），f（$\frac{1}{3}$）及f（$\frac{1}{4}$）的值；
（2）由（1）的结果猜想一个普遍的结论，并加以证明；
（3）求值f（1）+f（2）+…+f（2017）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2017}$）．

Answer 1

分析 （1）代值计算即可，
（2）猜想：$f（x）+f（\frac{1}{x}）=2$，根据条件证明即可，
（3）由（2）的结论可得．

解答 解：（1）$f（3）=-\frac{3}{5}，f（4）=-\frac{13}{17}，f（\frac{1}{3}）=\frac{13}{5}，f（\frac{1}{4}）=\frac{47}{17}$．
（2）猜想：$f（x）+f（\frac{1}{x}）=2$．证明如下：
因为$f（x）=\frac{{3-{x^2}}}{{1+{x^2}}}$，所以$f（\frac{1}{x}）=\frac{{3-\frac{1}{x^2}}}{{1+\frac{1}{x^2}}}=\frac{{3{x^2}-1}}{{{x^2}+1}}$，
所以$f（x）+f（\frac{1}{x}）=\frac{{3-{x^2}}}{{1+{x^2}}}+\frac{{3{x^2}-1}}{{{x^2}+1}}=\frac{{3-{x^2}-1+3{x^2}}}{{1+{x^2}}}=\frac{{2（{1+{x^2}}）}}{{1+{x^2}}}=2$．
（3）因为$f（x）+f（\frac{1}{x}）=2$，
所以$f（2）+f（\frac{1}{2}）=2，f（3）+f（\frac{1}{3}）=2$，…，$f（{2017}）+f（\frac{1}{2017}）=2$，
又$f（1）+f（\frac{1}{1}）=2$，所以f（1）=1，
故$f（1）+f（2）+…+f（{2017}）+f（\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{3}）+…+f（\frac{1}{2017}）$=1+2016×2=4 033．

点评 本题考查了函数值的求法和归纳推理的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题