Question

18．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{a}_{n}+n-1，n为奇数}\\{{a}_{n}-3n，n为偶数}\end{array}\right.$，则使数列{a_n}的前n项和S_n＞0的n的值为1和2．

Answer 1

分析 通过递推关系可知a_2n+1-a_2n=-6n，a_2n+2=$\frac{1}{3}$a_2n+1+2n，进而可知数列{a_2n}是以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，通过分组法求和可知S_2n=-2•$\frac{1}{{3}^{n}}$-3n²+3n+2，进而比较即得结论．

解答 解：依题意，a_2n+1-a_2n=-6n，a_2n+2=$\frac{1}{3}$a_2n+1+2n，
∴a_2n+2=$\frac{1}{3}$（a_2n-6n）+2n=$\frac{1}{3}$a_2n，
∴数列{a_2n}是以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
又∵a₂=$\frac{1}{3}$+1-1=$\frac{1}{3}$，a_2n=$\frac{1}{3}$a_2n-1+（2n-2），
∴a_2n-1=3a_2n-3（2n-2）=3•$\frac{1}{{3}^{n}}$-6n+6，
∴a_2n-1+a_2n=4•$\frac{1}{{3}^{n}}$-6n+6，
于是S_2n=4（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）-6（1+2+…+n）+6n
=4•$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-6•$\frac{n（n+1）}{2}$+6n
=-2•$\frac{1}{{3}^{n}}$-3n²+3n+2，
显然当n≥2时，S_2n-S_2n-2=4•$\frac{1}{{3}^{n}}$+6-6n＜0，单调递减，
又∵S₂=$\frac{4}{3}$＞0，S₄=-$\frac{38}{9}$＜0，
∴当n≥2时，S_2n＜0，
由于S_2n-1=S_2n-a_2n=-3•$\frac{1}{{3}^{n}}$-3n²+3n+2单调递减，
同理，当且仅当n=1时，S_2n-1＞0，
综上所述，满足S_n＞0的n的值为1和2，
故答案为：1和2．

点评 本题考查数列的求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．