Question

已知函数，其中为常数，e为自然对数的底数．

（Ⅰ）当时，求的最大值；                                                                        

（Ⅱ）若，且在区间上的最大值为，求的值；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，判断方程是否有实根？若无实根请说明理由，若有实根请给出根的个数．

Answer 1

【解】：（Ⅰ）当时，，

当0<x<1时，>0；当x>1时。<0，∴是在定义域上唯一的极（大）值点，则    …………………………………（4分）

（Ⅱ）∴，令得，

①当，即时， ≥0，从而在上单调递增，∴舍；

②当，即时，在上递增，在上递减，，令，得        ………………（10分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）知当时，，∴||≥1，

又令，，，∴方程无解．…