Question

若曲线y=

x2-4

与直线y=k（x-2）+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是（　　）

• A、0≤k≤1
• B、0≤k≤

  3

  4

• C、-1＜k≤

  3

  4

• D、-1＜k≤0

Answer 1

考点：直线的点斜式方程

专题：直线与圆

分析：如图所示，对k分类讨论：当k＜-1时，当k=-1时，当-1＜k≤0时，当0＜k≤k_PA时，当k＞

3

4

时，即可得出．

解答：解：如图所示，当k＜-1时，直线与双曲线至多有一个交点；
当k=-1时，直线与双曲线只有一个交点；
当-1＜k≤0时，直线与双曲线有2个交点；
当0＜k≤k_PA时，直线经过A（-2，0）时，k=

3-0

2-(-2)

=

3

4

，此时直线与双曲线有2个交点；
当k＞

3

4

时，直线与双曲线没有交点．
综上可得：曲线y=

x2-4

与直线y=k（x-2）+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是(-1，

3

4

]．
故选：C．

点评：本题考查了直线与双曲线交点问题转化为对斜率与渐近线的斜率之间的关系分类讨论，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的思想方法，属于难题．