Question

8．如图，在直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=4．点B，C在圆O上，且关于x轴对称．
（Ⅰ）当点B的横坐标为$\sqrt{3}$时，求$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$的值；
（Ⅱ）设P为圆O上异于B，C的任意一点，直线PB，PC与x轴分别交于点M，N，证明：|OM|•|ON|为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出B，C的坐标，利用数量积求解即可．
（Ⅱ）设B（x₀，y₀），P（x₁，y₁）（y₁≠±y₀），然后求解|OM|•|ON|即可．

解答 （Ⅰ）解：因为点B在圆O上，横坐标为$\sqrt{3}$．
不妨设$B（\sqrt{3}，1）$，由对称性知$C（\sqrt{3}，-1）$，（2分）
所以 $\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=3-1=2$．（5分）
（Ⅱ）解：设B（x₀，y₀），由对称性知C（x₀，-y₀），且$x_0^2+y_0^2=4$．（6分）
设P（x₁，y₁）（y₁≠±y₀），则$x_1^2+y_1^2=4$．（7分）
${l_{PB}}：y-{y_1}=\frac{{{y_1}-{y_0}}}{{{x_1}-{x_0}}}（x-{x_1}）$，${l_{PC}}：y-{y_1}=\frac{{{y_1}+{y_0}}}{{{x_1}-{x_0}}}（x-{x_1}）$．（9分）
在上述方程中分别令y=0，解得${x_M}=\frac{{{x_0}{y_1}-{x_1}{y_0}}}{{{y_1}-{y_0}}}$，${x_N}=\frac{{{x_0}{y_1}+{x_1}{y_0}}}{{{y_1}+{y_0}}}$．（11分）
所以 ${x_M}•{x_N}=\frac{x_0^2y_1^2-x_1^2y_0^2}{y_1^2-y_0^2}=\frac{（4-y_0^2）y_1^2-（4-y_1^2）y_0^2}{y_1^2-y_0^2}=4$．
所以|OM|•|ON|=4．（13分）

点评 本题考查向量的数量积，斜率在几何中的应用，考查计算能力．