Question

10．已知函数$f（x）=px-\frac{p}{x}-2lnx$．
（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，设函数$g（x）=\frac{2e}{x}$，若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数在x=1处的值，求出导函数，求出导函数在x=1处的值即切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程．
（2）通过g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，通过对p的讨论，求出f（x）的最大值，令最大值大于等于g（x）的最小值求出p的范围．

解答 解：（1）当p=2时，函数$f（x）=2x-\frac{2}{x}-2lnx$，f（1）=2-2-2ln1=0.$f'（x）=2+\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x}$，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），即y=2x-2．
（2）$f'（x）=p+\frac{p}{x^2}-\frac{2}{x}=\frac{{p{x^2}-2x+p}}{x^2}$．令h（x）=px²-2x+p，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．
由题意p＞0，h（x）=px²-2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为$x=\frac{1}{p}∈（0，+∞）$，
∴$h{（x）_{min}}=p-\frac{1}{p}$，只需$p-\frac{1}{p}≥0$，即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．
∵$g（x）=\frac{2e}{x}$在[1，e]上是减函数，∴x=e时，g（x）_min=2；x=1时，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]，
当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，
f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，
故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，
而$f{（x）_{max}}=f（e）=p（{e-\frac{1}{e}}）-2lne$，g（x）_min=2，
即$p（{e-\frac{1}{e}}）-2lne＞2$，解得$p＞\frac{4e}{{{e^2}-1}}$，而$\frac{4e}{{{e^2}-1}}＞1$，
所以实数p的取值范围是$（{\frac{4e}{{{e^2}-1}}，+∞}）$．

点评 解决曲线的切线问题，常利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切线方程；解决函数单调性已知求参数范围问题，常令导函数大于等于0（小于等于0）恒成立，求出参数的范围．