Question

10．已知圆A的方程为x²+y²-2x-2y-7=0，圆B的方程为x²+y²+2x+2y-2=0，
（Ⅰ）判断圆A与圆B是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由．
（Ⅱ）求两圆的公切线长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）比较两圆圆心距|AB|与半径和r₁+r₂、半径差的绝对值|r₁-r₂|的大小．
（Ⅱ）设公切线l切圆A、圆B的切点分别为E，F，则四边形AEFB是直角梯形．

解答 解：（Ⅰ）圆A：（x-1）²+（y-1）²=9    圆B：（x+1）²+（y+1）²=4，
两圆心距|AB|=$\sqrt{{{（1+1）}^2}+{{（1+1）}^2}}=2\sqrt{2}$，
∵3-2＜$|{AB}|=2\sqrt{2}＜3+2$，
∴两圆相交．
将两圆方程左、右两边分别对应相减得：4x+4y+5=0，
此即为过两圆交点的直线方程．
设两交点分别为C、D，则连心线AB垂直平分线段CD，
∵A到CD的距离$d=\frac{{|{4×1+4×1+5}|}}{{\sqrt{{4^2}+{4^2}}}}=\frac{13}{8}\sqrt{2}$，
∴$|{CD}|=2\sqrt{r_A^2-{d^2}}=\frac{{\sqrt{238}}}{4}$．
（Ⅱ）设公切线l切圆A、圆B的切点分别为E，F，则四边形AEFB是直角梯形．
∴${|{EF}|^2}={|{AB}|^2}-{（{r_A}-{r_B}）^2}=7$，∴$|{EF}|=\sqrt{7}$．

点评 本题考查圆与圆的位置关系，考查勾股定理的运用，属于中档题．