Question

14．已知函数f（x）=（ax²+x+2）e^x（a＞0），其中e是自然对数的底数．
（1）当a=2时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在[-2，2]上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）当a=1时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1]上有解．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系进行求解即可．
（2）根据函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．
（3）根据函数单调性结合函数零点的判断条件进行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=（2x²+x+2）e^x，则f′（x）=（2x²+5x+3）e^x=（x+1）（2x+3）e^x…（2分）
令f′（x）=0，$x=-1，-\frac{3}{2}$

x	$（-∞，-\frac{3}{2}）$	$-\frac{3}{2}$	$（-\frac{3}{2}，-1）$	-1	（-1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

∴$f{（x）_{极大值}}=f（-\frac{3}{2}）=5{e^{-\frac{3}{2}}}$，$f{（x）_{极小值}}=f（-1）=3{e^{-1}}$…（4分）
（2）问题转化为f′（x）=[ax²+（2a+1）x+3]e^x≥0在x∈[-2，2]上恒成立；
又e^x＞0即ax²+（2a+1）x+3≥0在x∈[-2，2]上恒成立；      …（6分），
令g（x）=ax²+（2a+1）x+3，
∵a＞0，对称轴$x=-1-\frac{1}{2a}＜0$
①当-1-$\frac{1}{2a}$≤-2，即$0＜a≤\frac{1}{2}$时，g（x）在[-2，2]上单调增，
∴g（x）的最小值g（x）=g（-2）=1＞0，∴0＜a≤$\frac{1}{2}$                          …（8分）
②当-2＜-1-$\frac{1}{2a}$＜0，即$a＞\frac{1}{2}$时，g（x）在[-2，-1-$\frac{1}{2a}$]上单调减，在[-1-$\frac{1}{2a}$，2]上单调增，
∴△=（2a+1）²-12a≤0，解得：$1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤a≤1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$＜a≤1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
综上，a的取值范围是$（0，1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$．                          …（10分）
（3）∵a=1，设h（x）=（x²+x+2）e^x-x-4，h′（x）=（x²+3x+3）e^x-1
令φ（x）=（x²+3x+3）e^x-1，φ′（x）=（x²+5x+6）e^x
令φ′（x）=（x²+5x+6）e^x=0，得x=-2，-3

x	（-∞，-3）	-3	（-3，-2）	-2	（-2，+∞）
φ′（x）	+	0	-	0	+
φ（x）	增	极大值	减	极小值	增

∴$φ{（x）_{极大值}}=φ（-3）=\frac{3}{e^3}-1＜0$，$φ{（x）_{极小值}}=φ（-2）=\frac{1}{e^2}-1＜0$…（13分）
∵$φ（-1）=\frac{1}{e}-1＜0，φ（0）=2＞0$，
∴存在x₀∈（-1，0），x∈（-∞，x₀）时，φ（x）＜0，x∈（x₀，+∞）时，φ（x）＞0
∴h（x）在（-∞，x₁）上单调减，在（x₁，+∞）上单调增
又∵$h（-4）=\frac{14}{e^4}＞0，h（-3）=\frac{8}{e^3}-1＜0，h（0）=-2＜0，h（1）=4e-5＞0$
由零点的存在性定理可知：h（x）=0的根x₁∈（-4，-3），x₂∈（0，1）即t=-4，0．   …（16分）

点评 本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用导数法是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．