Question

12．如图，已知平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（2，-3）、B（4，-1）．
（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求x值；
（2）若C（a，0）、D（a+3，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；
（3）设M、N分别为x轴、y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）和（0，π），使四边形ABMV周长最短，若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设出并找到B（4，-1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），进而可得直线AB'的解析式，进而可得答案；
（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F（1，-1），连接A'F．利用两点间的线段最短，可知四边形ABDC的周长最短等于A'F+CD+AB，从而确定C点的坐标值．
（3）根据对称轴的性质，可得存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，当且仅当m=$\frac{5}{2}$，n=-$\frac{5}{3}$时成立．

解答 解：（1）设点B（4，-1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），
设直线AB'的解析式为y=kx+b，
把A（2，-3），B'（4，1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-3}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-7}\end{array}\right.$，∴y=2x-7，
令y=0，得x=$\frac{7}{2}$，即当△PAB的周长最短时，x=$\frac{7}{2}$．
（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．
做点F（1，-1），连接A'F．那么A'（2，3）．
直线A'F的解析式为y-1=$\frac{3-（-1）}{2-1}$•（x-1），即y=4x-5，
∵C点的坐标为（a，0），且在直线A'F上，
∴0=4a-5，解得a=$\frac{5}{4}$．
∴当四边形ABDC的周长最短时，a=$\frac{5}{4}$．
（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，
作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，
∴A′（-2，-3），B′（4，1），
∴直线A′B′的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{5}{3}$，
∴M（$\frac{5}{2}$，0），N（0，-$\frac{5}{3}$）．
∴m=$\frac{5}{2}$，n=-$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查当三角形的周长最短时，未知数的值的求法，考查当四边形ABDC的周长最短时，未知数的值的求法，考查使四边形ABMV周长最短时，未知数的值的是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对称知识的合理运用．