Question

15．在四棱锥C-ABEF中，底面ABEF是矩形，FA⊥平面ABC，D是棱AB的中点，点H在棱BE上．且AC=BC=$\sqrt{2}$，AB=2，AF=3．
（1）设BH=λBE，若FH⊥平面DHC，求λ的值：
（2）在（1）的条件下，求当λ＞$\frac{1}{2}$时，平面DCF与平面CFH所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）过C作CG⊥平面ABC，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CG为z轴建立直角坐标系，利用FH⊥平面DHC，建立方程，即可求λ的值；
（2）求出平面DCF的一个法向量、平面HCF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求当λ＞$\frac{1}{2}$时，平面DCF与平面CFH所成锐二面角的余弦值．

解答 解：（1）∵AC²+BC²=AB²，∴∠ACB=90°
过C作CG⊥平面ABC，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CG为z轴建立直角坐标系，
则A（$\sqrt{2}$，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），C（0，0，0），D（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
E（0，$\sqrt{2}$，3），F（$\sqrt{2}$，0，3），H（0，$\sqrt{2}$，3λ）
∴$\overrightarrow{FH}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}，3λ-3$），$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，0$），$\overrightarrow{CH}$=（0，$\sqrt{2}，3λ$），
∵FH⊥平面DHC，∴$\overrightarrow{FH}•\overrightarrow{CD}$=0，且$\overrightarrow{FH}$•$\overrightarrow{CH}$=0，
∴2+3λ（3λ-3）=0，
解得λ=$\frac{1}{3}$或$λ=\frac{2}{3}$．
（2）∵λ＞$\frac{1}{2}$，∴$λ=\frac{2}{3}$，∴H（0，$\sqrt{2}$，2），
设平面DCF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），$\overrightarrow{CF}$=（$\sqrt{2}，0，3$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=0}\\{\sqrt{2}x+3z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），
设平面HCF的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FH}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CH}=0}\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{FH}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}，-1$），$\overrightarrow{CH}$=（0，$\sqrt{2}$，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}a+\sqrt{2}b-c=0}\\{\sqrt{2}b+2c=0}\end{array}\right.$，取b=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，1），
设平面DCF与平面CFH所成锐二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{5\sqrt{2}}{6}}{\sqrt{\frac{20}{9}}•\sqrt{\frac{15}{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴平面DCF与平面CFH所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查线面垂直，考查二面角D-CF-H余弦值，正确建立坐标系，利用向量方法是关键．