Question

已知函数（为实常数）．

（1）若函数在区间上是增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围；

（2）设，若不等式在有解，求的取值范围．

 

Answer 1

(1);(2)当时，；当时，．

【解析】

试题分析：（1）任取x1、x2∈[2，+∞），且x1＜x2，利用函数单调性的定义可知f（x2）-f（x1）＞0在区间[2，+∞）上恒成立，从而求出实数m的取值范围；（2）将不等式f（x）≤kx中的k分离出来，然后利用二次函数的性质研究不等式另一侧函数在[，1]上的最小值，从而求出k的取值范围．

（1）由题意，任取、，且，

则， 2分

因为，，所以，即， 4分

由，得，所以．所以，的取值范围是． 6分

（2）由，得，

因为，所以， 7分

令，则，所以，令，，

于是，要使原不等式在有解，当且仅当（）． 9分

因为，所以图像开口向下，对称轴为直线，

因为，故当，即时，；

当，即时，． 13分

综上，当时，；

当时，． 14分．

考点：1．不等式的解法；2．奇偶性与单调性的综合；3．两点间的距离公式．．