Question

10．对于函数f（x）=$\sqrt{a{x^2}+bx}$，存在一个正数b，使得f（x）的定义域和值域相同，则非零实数a的值为（　　）

• A． 2
• B． -2
• C． -4
• D． 4

Answer 1

分析 由题意：函数f（x）=$\sqrt{a{x^2}+bx}$，对a讨论，求其定义域和值域相同，讨论a的值．

解答 解：由题意：函数f（x）=$\sqrt{a{x^2}+bx}$，
若a＞0，由于ax²+bx≥0，即x（ax+b）≥0，
∴对于正数b，f（x）的定义域为：D=（-∞，-$\frac{b}{a}$]∪[0，+∞），
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，不合要求．
若a＜0，对于正数b，f（x）的定义域为 D=[0，-$\frac{b}{a}$]．
由于此时函数 f（x）_max=f（-$\frac{b}{2a}$）=$\sqrt{a×（\frac{b}{2a}）^{2}+b×（-\frac{b}{2a}）}$=$\sqrt{\frac{-{b}^{2}}{4a}}$=$\frac{b}{2}\sqrt{\frac{1}{-a}}$．
故函数的值域 A=[0，$\frac{b}{2}\sqrt{\frac{1}{-a}}$]，
由题意，有：$-\frac{b}{a}$=$\frac{b}{2}\sqrt{\frac{1}{-a}}$，
由于b＞0，
解得：a=-4．
故选C．

点评 本题考查了二次函数的定义域和值域的求法，对开口方向讨论其之间的范围问题是解题的关键．属于中档题．